Вариант №1

Этап №1. Тема: Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных

Задание:

а) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованием необходимых и достаточных условий безусловного экстремума);

Из начальной точки сделать в направлении экстремума:

б) три итерации методом градиентного спуска;

в) две итерации методом наискорейшего градиентного спуска;

г) две итерации методом Гаусса-Зейделя;

д) две итерации методом сопряженных градиентов;

е) одну итерацию методом Ньютона.

f (X) = 3x² + 4y² — 42x + 18y + 25 → extr

Этап №2. Тема: Методы поиска условного экстремума функции многих переменных при ограничениях типа равенства

Задание:

а) найти решение задачи графически;

б) найти решение задачи с использованием необходимых и достаточных условий условного экстремума;

в) найти решение задачи методом штрафной функции.

f(X) = 4x₁² + x₂² — 8x₁ + 16x₂ → extr

при ограничении: -x₁ + 4x₂ = 6

Этап №3. Тема: Методы решения задачи линейного программирования

Задание:

а) найти максимум и минимум в задаче графически.

б) найти максимум и минимум в задаче симплекс-методом

Этап №4. Тема: Методы решения транспортных задач

Задание:

Для транспортной задачи, заданной матрицей перевозок:

а) найти начальный план перевозок;

б) найти решение задачи методом потенциалов.

Пункты				Запасы
	4	5	1	40
	9	5	2	70
Потребности	10	30	70	110

Этап №5. Тема: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Задание:

а) найти решение систему методом простых итераций (точность счёта );

б) найти решение системы методом Зейделя (точность счёта ).

x₁ — x₂ + x₃ — 4x₄ = -5

2x₁ + x₂ — 5x₃ + x₄ = 6

8x₁ — x₂ — x₃ + 2x₄ = 3

x₁ + 6x₂ — 2x₃ — 2x₄ = 0

Этап №6. Тема: Методы решения алгебраических уравнений

Задание:

а) отделить корни алгебраического уравнения;

б) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке (точность счёта );

в) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке (точность счёта );

г) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деления на отрезке (точность счёта ).

x³ — 7x² + 14x — 8 = 0

Этап №7. Тема: Интерполяция и аппроксимация сеточных функций

Задание:

Для сеточной функции, определенной таблицей:

а) построить интерполяционный многочлен Лагранжа;

б) построить интерполяционный многочлен Ньютона;

в) аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядков методом наименьших квадратов;

г) сделать общий чертеж.

x	1	2	3	4
f(x)	11	6	11	14

Этап №8. Тема: Дифференцирование и интегрирование сеточных функций

Задание:

Для сеточной функции, определенной таблицей:

а) найти производные первого порядка, используя все двухточечные шаблоны во внутренних точках интервала ;

б) найти производные первого порядка, используя все трехточечные шаблоны во внутренних точках интервала ;

в) найти производные второго порядка, используя все трехточечные шаблоны во внутренних точках интервала ;

г) вычислить интеграл, используя формулу прямоугольников;

д) вычислить интеграл, используя модифицированную формулу прямоугольников;

е) вычислить интеграл, используя формулу трапеций.

x	1	2	3	4
f(x)	11	6	11	14

Этап №9. Тема: Численные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:

Задание:  

Найти решение задачи Коши:

а) аналитически;

б) явным методом Эйлера на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

в) методом предсказания и коррекции на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

г) неявным методом Эйлера на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

д) методом трапеций на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже.

(x + 1) + y = 1; y(0) = 0

Вариант №1

Этап №1. Тема: Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных

Задание:

а) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованием необходимых и достаточных условий безусловного экстремума);

Из начальной точки сделать в направлении экстремума:

б) три итерации методом градиентного спуска;

в) две итерации методом наискорейшего градиентного спуска;

г) две итерации методом Гаусса-Зейделя;

д) две итерации методом сопряженных градиентов;

е) одну итерацию методом Ньютона.

f (X) = 3x² + 4y² — 42x + 18y + 25 → extr

Этап №2. Тема: Методы поиска условного экстремума функции многих переменных при ограничениях типа равенства

Задание:

а) найти решение задачи графически;

б) найти решение задачи с использованием необходимых и достаточных условий условного экстремума;

в) найти решение задачи методом штрафной функции.

f(X) = 4x₁² + x₂² — 8x₁ + 16x₂ → extr

при ограничении: -x₁ + 4x₂ = 6

Этап №3. Тема: Методы решения задачи линейного программирования

Задание:

а) найти максимум и минимум в задаче графически.

б) найти максимум и минимум в задаче симплекс-методом

Этап №4. Тема: Методы решения транспортных задач

Задание:

Для транспортной задачи, заданной матрицей перевозок:

а) найти начальный план перевозок;

б) найти решение задачи методом потенциалов.

Пункты				Запасы
	4	5	1	40
	9	5	2	70
Потребности	10	30	70	110

Этап №5. Тема: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Задание:

а) найти решение систему методом простых итераций (точность счёта );

б) найти решение системы методом Зейделя (точность счёта ).

x₁ — x₂ + x₃ — 4x₄ = -5

2x₁ + x₂ — 5x₃ + x₄ = 6

8x₁ — x₂ — x₃ + 2x₄ = 3

x₁ + 6x₂ — 2x₃ — 2x₄ = 0

Этап №6. Тема: Методы решения алгебраических уравнений

Задание:

а) отделить корни алгебраического уравнения;

б) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке (точность счёта );

в) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке (точность счёта );

г) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деления на отрезке (точность счёта ).

x³ — 7x² + 14x — 8 = 0

Этап №7. Тема: Интерполяция и аппроксимация сеточных функций

Задание:

Для сеточной функции, определенной таблицей:

а) построить интерполяционный многочлен Лагранжа;

б) построить интерполяционный многочлен Ньютона;

в) аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядков методом наименьших квадратов;

г) сделать общий чертеж.

x	1	2	3	4
f(x)	11	6	11	14

Этап №8. Тема: Дифференцирование и интегрирование сеточных функций

Задание:

Для сеточной функции, определенной таблицей:

а) найти производные первого порядка, используя все двухточечные шаблоны во внутренних точках интервала ;

б) найти производные первого порядка, используя все трехточечные шаблоны во внутренних точках интервала ;

в) найти производные второго порядка, используя все трехточечные шаблоны во внутренних точках интервала ;

г) вычислить интеграл, используя формулу прямоугольников;

д) вычислить интеграл, используя модифицированную формулу прямоугольников;

е) вычислить интеграл, используя формулу трапеций.

x	1	2	3	4
f(x)	11	6	11	14

Этап №9. Тема: Численные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:

Задание:  

Найти решение задачи Коши:

а) аналитически;

б) явным методом Эйлера на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

в) методом предсказания и коррекции на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

г) неявным методом Эйлера на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

д) методом трапеций на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже.

(x + 1) + y = 1; y(0) = 0